MATEMATİK
EBOB:( En büyük Ortak Bölen )
EBOB: En Büyük Ortak Bölen cümlesinin kelimelerinin baş harfleriyle oluşturulmuştur.
İnsan büyük büyük harfleri görünce korkuyor değil mi ?
İSterseniz cümleyi açmaya çalışalım…
Ortak kelimesi olduğuna göre en az 2 tane sayı olacak ki ortak birşeyleri olsun.
Ortak bölen: İki sayıyı da bölecek bir sayı olacakmış demekki.
Belki ikisini de bölen birçok sayı olabilir diye bunlardan en büyüğünü alıyoruz. İşte buna EBOB diyoruz.
EBOB: İki sayıyı bölen tüm sayılardan en büyüğüdür.
Örnek: 8 ve 12 sayılarına bir bakalım.
8 ve 12 sayısınının her ikisini de 1,2,4 sayıları böler, doğrudur.
Biz ise bunlardan en büyük olanını alacağız. Yani 4 ü …
EBOB ları 4 tür.
Bu kadar basit.
Peki bunları hangi tür sorularda kullanacağız derseniz bir örnek verelim.
Öğretmen; öğrencilerinden Hüsnü’ye 36 adet, Hüsniye’ye ise 48 adet kalem vermiş ve şöyle demiştir.
“Elinizdeki kalemlerinizi sevdiğiniz arkadaşlarınıza dağıtacaksınız.
Hiç elinizde kalem artmayacak şekilde, herkese eşit miktarda olmak üzere en AZ kaç kişiye dağıtırsınız ?” diye soruyor.
Hüsnü ile Hüsniye ise şöyle düşünüyor:
“Eğer biz bu kalemleri az kişiye vereceksek herkese çok kalem vermeliyiz.En çok kaç kalem verebiliriz ?”
Hüsnü: bir kişiye 36 tane vereceğini, Hüsniye ise 48 tane vereceğini söylüyor.
Öğretmenin cevabı: Hayır, herkese eşit olmalı, tamam bu şekilde 2 kişiye vermiş oluyorsunuz fakat bu şekilde herkese eşit düşmüyor.
Hüsnü ile Hüsniye aralarında konuşuyor ve birlikte düşünmeleri gerektiğini anlıyorlar.
ve en sonunda 16 şar tane vermeyi düşünüyorlar.
Hüsniye 16+16+16= 48 , üç kişiye
Hüsnü: 16+16 = 32 yani 2 kişiye verebileceğini söylüyor.
Öğretmenin cevabı: Nayır, Hüsnü nün 4 tane kalemi arttı çünkü 36 kalemi vardı, bu da olmaz diyor.
ve Hüsnü ile Hüsniye iyice düşünmeye başlıyor.
En sonunda 1,2,3,4,6,9,12 sayılarının her iki sayıyı da tam böldüğünü, bu sayı kadar kalem dağıtırlarsa hiç kalem artmayacağını anlıyorlar.
Bu yüzden cevap olarak 12 yi seçiyorlar.
Çünkü ne kadar çok kalem verirlerse o kadar az kişiye dağıtırlar…
Hüsnü 36 kalemi 3 kişiye 12 şer tane,
Hüsniye 48 kalemi 4 kişiye 12 şer tane dağıtıyor.
Ve en az 3+4= 7 kişiye kalem dağıtabiliriz diyorlar. Daha az kişi olursa mutlaka kalem artıyor.
Öğretmenin Cevabı: Aferin Yavrukuşlar, süpersiniz.
Hüsnü soruyor: Peki öğretmenim sayılar büyürse zor olmaz mı böyle bölenlerini bulmak ? ne yapmalıyız?
Öğretmeni: Tabiki kolay bir yol var. Çarpanlarına ayırmayı öğrenmiştiniz. Bunu iki sayı için de yapacağız.
İzleyin diyor ve aşağıdakini yapıyor.
Yani; iki sayı için yapılan şey şudur.
iki sayımız yan yana yazılır ve bir çizgi çekilir.
en küçük asal sayıdan başlayarak iki sayıyı da bölenleri yanına yazarız ve böleriz.
Hem 36 hem de 48 i 2 sayısı böldüğü için 2 den başladık, sonra bir daha 2 ye böldük.
Sonra karşımıza 9 ve 12 çıktı, ikisi de 2 ye bölünmediği için 3 e geçtik ve her ikisini de 3 e böldük.
Sonrasında ise 3 ve 4 kaldı. Artık her ikisini de bölen asal sayı kalmadığı için bölmeyi bıraktık.
Çizgimizin sağındaki sayıları çarptık ve 12 olarak bulduk.
Yani her öğrenciye 12 kalem dağıtacağız.
Dikkat edin, bulduğumuz 12 sayısı direk bize sonucu vermiyor.
Dağıtılacak kalemi veriyor.
Öğrenci sayısını mantığımızla hesaplayarak buluyoruz.
NOT: Ebob soruları ne zaman kullanılır ?
Eğer elimizdeki malzemeyi, veya sayıyı eşit parçalara bölmemiz gerekiyorsa EBOB kullanılır.
Yukarıdaki soruda da kalemleri eşit paröalara ayırarak dağıtmamız istenmişti.
Çarpanlar ne demektir ?
Bize bir sayı verilsin;
bu sayıyı elde edebileceğimiz çarpımlar Çarpanlar olarak adlandırılır.
Örneğin;
15 sayısı 5.3 ve 15.1 olarak yazılabilir.
Yani 15 in çarpanları; sırayla yazarsak; 1,3,5,15 olarak yazılabilir.
Başka örnek; 17 sayısının çarpanları 17.1 olarak bulunur.
13 ün çarpanları 1 ve 17 tür. Başka yoktur.
Asal Sayı ne demektir ?
Üstteki örneklerden 17 sayısına bakarsak;
çarpanları sadece 1 ve 17.
Başka çarpanı yok. Fakat 15 sayısının başka çarpanları da vardı.
20 sayısının da birçok çarpanı var.
Fakat 23 sayısının çarpanı sadece 1 ve 23 tür.
Kısacası; Çarpanları 1 ve kendisi olan sayılar asal sayılardır.
Örnek;
29 = 1.29 asal sayıdır.
3=1.3 asal sayıdır.
2=1.2 asal sayıdır.
4=1.4 ve 2.2 asal sayı değildir.
Örnekleri çoğaltabiliriz.
2 haricindeki her çift sayının içinde bir 2 bulunduğundan asals ayı olamaz.
Tek çift asal sayı 2 dir.
Onun ahricindeki tüm asal sayılar tektir
Not: Bölünebilme kuralları derken kalansız bölünebilmeden bahsediyoruz.
- 2 ile bölünebilme kuralı:
Bütün çift sayılar iki ile tam bölünebilir.
Örnek olarak ise; 2 , 26, 148 , 2490, 135790 sayıalrı gösterilebilir.
- 5 ile bölünebilme kuralı;
Birler basamağı 5 ve 0 olan bütün sayılar 5 ile kalansız bölünebilir.
Örnek olarak 5, 10, 145, 234390, 24345 gösterilebilir.
- 10 ile bölünebilme kuralı;
Birler basamağı sadece 0 ( sıfır ) olan sayılar 10 ile bölünebilir.
Örnek; 10,20, 90,180,21020 gibi…
- 4 ile bölünebilme kuralı;
4 ile bölünebilmede sayının sadece son basamağına değil, son iki basamağına bakılır. Sayı kaç basamaklı olursa olsun son iki basamağa bakmamız yeterlidir.
Son iki basamak 4 e bölünürse sayımız da 4 e bölünebilir.
örnek; 34732636 sayısına bakalım.
Sayının son iki basamağı 36 dır.
36 sayısı 4 e tam bölündüğü için, 34732636 sayısı da 4 e tam bölünür.
NOT: Şu ana kadar anlattığımız kurallarda sayının son basamaklarına baktık.
Şimdi ise 3 ile 9 un bölünme kurallarında sayının rakamlarını toplayacağız.
- 3 ile bölünebilme kuralı;
3 ile bölünebilme kuralında, sayının son rakamına falan bakmıyoruz, sayımızın bütün rakamlarını topluyoruz. Rakamların toplamı 9 a bölünüyorsa sayımız da 9 a tam bölünür.
örnek; 87432105 sayısına bakalım.
şimdi rakamlarını toplarsak;
8+7+4+3+2+1+0+5= 30
30 sayısı 3 e tam bölündüğü için; 4732636 sayısı da 3 e tam bölünebilir.
- 9 ile bölünebilme kuralı;
- 9 ile bölünebilme kuralında da 3 ile bölünmede olduğu gibi yapılır. Rakamlar toplanır.Bu sefer toplamın 9 a bölünmesi gerekir.
Örneğin; 4563414 sayısının 9 a bölünüp bölünmeyeceğine bir bakalım.
4+5+6+3+4+1+4=27
Örnek;
23258 sayısına bakalım.
2+3+2+5+8 = 20
20 sayısı 9 a tam bölünmediği için 23258 sayısı da 9 a tam bölünmez.
27 sayısı 9 a tam bölündüğü için 4563414 sayısı da 9 a tam bölünebilir.
- Son olarak 6 ya tam bölünebilmeye bakalım.
- 6 ya bölünmenin özel bir kuralı yok.
Fakat şöyle söyleyebiliriz.
6=2.3 tür.
Yani; Hem 2 ye hem de 3 e bölünen sayılar 6 ya tam bölünür.
Mesela; 15 sayısı 3 e bölünür 2 ye bölünmez,
16 sayısı 2 ye bölünür 3 e bölünmez.
Fakat 12 sayısı hem 2 ye hem de 3 e tam bölünür.
Kısacası; hem 2 ye hem de 3 e bölünen sayılar 6 ya tam bölünür.
Önemli bir NOT: Yukarıdaki bölünme kuralları bize işlemin sonucunu vermez, sadece verilen bir sayının yukarıdaki sayılara bölü
Öteleme nedir ?
Öteleme bir şeklin yer değiştirmesidir.
Bir araba hareket eder yeri değişir, bir yaprak dalından düşer yer değiştirir, bir top yuvarlanır yer değiştirir.
Bunların hepsi yer değiştirmedir fakat hepsi öteleme değildir.
Daha doğru bir tanımla öteleme: Bir şeklin duruşunun ve büyüklüğünün değişmeden yer değiştirmesine öteleme denir.
Yukarıdaki 1. şekil önce sağa doğru ötelenmiş 2. şekil oluşmuş, sonra 2. şekil aşağıya doğru ötelenmiş 3. şekil oluşmuştur.
Görüldüğü gibi şekillerin görünüşü değişmemiş durumda.
Bu bir öteleme hareketidir.
Ötelemenin yanında bazı temel tanımları da vermekte fayda var.
Doğru Simetrisi: Aşağıdaki şekilde de görüldüğü gibi doğru simetrisi bir şeklin aynadaki yansımasıdır. Şeklin duruşu değişir.Büyüklüğü aynıdır.
Öteleme Simetrisi: Şeklin duruşu değişmez, fakat yeri değişir.
DİKKAT! iki simetride de cisimlerin simetri eksenine ( çizgiye ) olan uzaklığı eşittir. Buna dikkat edin.
Bu konumuza paralel olarak ÖTELEME ile SÜSLEME konusunu da işlememizde fayda var.
Süsleme bir şeklin renklendirilerek göze hoş şekiller elde edilmesidir.
Peki ne yapacağız cisimleri öteleyerek süslü şekiller oluşturacağız, işte buna öteleme ile süsleme denir.
Öteleme ile süslemeyi halılarımızın, kilimlerimizin üzerine bakarsak görebiliriz.
nüp bölünmeyeceğine karar vermemizi sağlar
Üçgenleri Sınıflandırma,Kare ve Dikdörtgen
Çokgenin ne demek olduğunu daha önceki dersimizde gördük.Bu dersimizde üçgenleri, kareyi ve dikdörtgeni işleyeceğiz.
- Üçgen Çeşitleri ni iki şekilde sınıflandırabiliriz.
1) Kenarlarına göre üçgenler: Üçgenin kenarlarına baktığımızda ya üç kenar birbirine eşittir, ya iki kenar birbirine eşittir, ya da üç kenar birbirinden farklıdır.Bu nedenle aşağıdaki gibi isimlenidiririz.
- Eşkenar üçgen ( her kenarı eşit olan )
- İkizkenar üçgen ( ik ikenarı da eşit olan )
- Çeşitkenar üçgen ( üç kenarı da farklı olan )
1) Açılarına göre üçgenler: Üçgenin açılarına baktığımızda ya dik açılıdır, ya dar açılıdır, ya da geniş açılıdır.Buna göre aşağıdak igibi isimlendirebiliriz.
- Dik açılı üçgenler ( bir açısı dik olan üçgendir )
- Dar açılı üçgenler ( her açısı dar olan üçgendir )
- Geniş açılı üçgenler ( bir açısı geniş olan üçgendir )
- Şimdi kare ve dikdörtgene bir gözatalım.
Ama öncesinde bir kelimenin anlamını bilmemizde fayda var.
Köşegen: Karenin ve dikdörtgenin köşesini karşı köşeye birleştiren doğru parçasıdır.
Şimdi kare ve dikdörtgenin özelliklerini inceleyebiliriz.
Karenin özellikleri:
- Her kenarının uzunlukları birbirine eşittir.
- Her açısı 90 derecedir.
- İki köşegeninin uzunluğu birbirine eşittir.
- Köşegenler birbirini ortadan ikiye böler.
Dikdörtgenin özellikleri:
- Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir.
- Her açısı 90 derecedir.
- İki köşegeninin uzunluğu birbirine eşittir.
- Köşegenler birbirini ortadan ikiye böler.
Bu konumuz geometri ile ilgili.
Eşlik ve Benzerlik.
Eşlik: Eşlik eşit olan anlamına gelir. İki geometrik cisim düşünün.
Bu cisimler tamamen birbirinin aynısı ise bunlara eş şekiller denir.
İki kare düşünelim ikisinin de her kenarının uzunlukları aynı ise ve görünümleri birbirinin kopyası gibiyse bu şekillere eş şekiller denir.
İki kare daha düşünelim. Birinin kenarları 4 cm, diğerinin kenarları 8 cm ise bunlar eş değildir. Fakat benzerdir.
Benzerlik: En son kısımda benzerlikten bahsettik. Hemen kafanızda şöyle bir soru işareti oluştu. Acaba eş olmayan şekillere benzer şekiller mi diyoruz ?
Cevap: Kocaman bir HAYIR !
Öğrencilerimiz Eşliği çok iyi anlar fakat Benzerlik konusunda kafaları karışır.
Benzerlik: iki şekil düşünün, bu şekiller birbirine çok benzemeli fakat birbirinin belli bir oranda büyütülmüş hali olmalı. Hani resimleri büyütürüz ya ? Resim büyütülünce sadece boyumuz mu uzar ? Bedenimizin genişliği de artmaz mı?
İşte benzerlik budur. Şeklin her yöne doğru belli bir oranda artmasıdır.
Elinize kağıt alın ve iki tane dikdörtgen çizin.
Birinin kısa kenarı 3, uzun kenarı 4 olsun.
Diğerinin kısa kenarı 9 uzun kenarı 12 olsun.
Bu dikdörtgen benzerdir.
Çünkü kısa kenarı da 3 karına çıkmış, ( 3.3 =9 )
Uzun kenarı da 3 katına çıkmış. ( 3.4 =12 )
Her ikisi de aynı kat büyüdüğü için şekiller benzerdir.
Şimdi bir dikdörtgen daha çizelim.
Birinin kısa kenarı 3, uzun kenarı 4 olsun.
Diğerinin kısa kenarı 9 uzun kenarı 16 olsun.
Bu dikdörtgenler benzer değildir.
Çünkü kısa kenarı da 3 karına çıkmış, ( 3.3 =9 )
Uzun kenarı da 3 katına çıkmış. ( 4.4 =16)
NOT: İki eş şekil aynı zamanda Benzerdir. akat her benzer şekil eş değildir.
